27868. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Наибольшим в треугольнике является тот угол, который лежит против большей стороны. В данном случае это ∠АВС.
Вычислим градусные меры дуг. Введём коэффициент х. Так как градусные величины дуг относятся как 1:3:5, а сумма составляет 3600 то запишем уравнение:
Значит дуга АВ соответствует 400, дуга ВС соответствует 3х=1200, дуга АС (не содержащая точку С) соответствует 5х=2000.
Соединим центр окружности с вершинами треугольника, на хорде АС построим вписанный ∠ADC:
Рассмотрим четырёхугольник ADCB.
Известно, что сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 1800. Если мы найдём ∠ADC, то сможем вычислить искомый угол.
По свойству вписанного угла:
Вычислим ∠АОС:
Значит
Таким образом:
Ответ: 100