27116. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Сразу отметим, что у этой задачи есть несколько путей решения. Путь первый!

Постоим пирамиду, обозначим вершины. Отметим на ребре AS точку Е, так чтобы  AE была в два раза больше ES (в условии сказано, что ES относится к AE как 1 к 2), и построим указанную плоскость проходящую, через ребро АС и точку Е:

Проанализируем объём какой пирамиды будет больше: EABC или SEBC?

*Объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания и высоты:

Если рассмотреть две полученные пирамиды и в обеих принять за основание грань ЕВС, то становится очевидно, то объём пирамиды АЕВС будет больше объёма пирамиды SEBC. Почему?

Расстояние от точки А до плоскости ЕВС  больше чем расстояние от точки S. А это расстояние играет у нас роль высоты.

Итак, найдём объём пирамиды ЕАВС.

Объём исходной пирамиды нам дан, основание у пирамид SАВС и ЕАВС общее. Если мы установим соотношение высот, то без труда сможем определить объём.

Из отношения отрезков  ES и AE следует, что АЕ равно две третьих ES. Высоты пирамид SАВС и ЕАВС находятся в такой же зависимости — высота пирамиды ЕАВС будет равна 2/3 высоты пирамиды SАВС.

Таким образом, еслиОтвет: 10

Путь второй!

Отметим, что дан объём. И больше нет линейных размеров и информации по площади основания. Что это означает? То что площадь основания может быть как очень малой величиной (как следствие будет большая высота) и очень большой (при малой высоте).

То есть мы смело можем взять и «назначить» величину площади основания. Имеем:

Пусть площадь основания будет равна 3. *Это удобное число для того чтобы на высоту пирамиды пришлось 15 (число кратное трём).  По условию:

Высоты пирамид SАВС и ЕАВС,  как уже сказано, находятся в такой же «зависимости» — высота пирамиды ЕАВС будет равна 2/3 высоты пирамиды SАВС. То она равна 10.

Вычисляем объём:

Объём второй пирамиды (ESDC) находить уже нет смысла, но если хочется то он равен 5.

Ответ: 10