Четырехугольник ABCD вписан в окружность

27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105⁰, угол CAD равен 35⁰. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Углы CAD и DBC вписанные, построенные на одной хорде CD. Значит

Теперь вычисляем искомый угол:

Другой подход:

Вспомним, что известно про вписанный в окружность четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Можем найти:

На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, то делайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можем найти».

Далее используя  теорему о сумме углов треугольника найдём угол ACD:

Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу. Это означает, что они равны, то есть

Ответ: 70

27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75⁰, угол CAD равен 35⁰. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно

В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:

Далее воспользуемся свойством – у вписанного в окружность четырехугольника  сумма противолежащих углов равна 180⁰, значит

Ответ: 110

27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110⁰, угол ABD равен 70⁰. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Известно, что его противоположные углы в сумме составляют 180 градусов. Найдём угол

Углы ABD и ACD равны, так как они являются вписанными в окружность, построены на одной хорде и лежат от неё по одну сторону, то есть

Рассмотрим треугольник CAD. В нём нам известны два угла, можем найти искомый:

Ответ: 40