27868. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

1

Наибольшим в треугольнике является тот угол, который лежит против большей стороны. В данном случае это ∠АВС.

Вычислим градусные меры дуг. Введём коэффициент х. Так как градусные величины дуг относятся как 1:3:5, а сумма составляет 3600 то запишем уравнение:

2

Значит дуга АВ соответствует 400, дуга ВС соответствует 3х=1200, дуга АС (не содержащая точку С) соответствует 5х=2000.

Соединим центр окружности с вершинами треугольника, на хорде АС построим вписанный ∠ADC:

3

Рассмотрим четырёхугольник ADCB.

Известно, что сумма противоположных углов  вписанного в окружность четырёхугольника равна 1800. Если мы найдём ∠ADC, то сможем вычислить искомый угол.

По свойству вписанного угла:

4

Вычислим ∠АОС:

5

Значит

6

Таким образом:

7

Ответ: 100