Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:

Решением уравнения cosx=a являются два корня:

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.

Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.

Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон  n  от  –2  до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x: –3 и 3, –4  и 4 и так далее. Вычисляем:

При  n = – 2     х₁= 3(– 2) – 4,5 = – 10,5      х₂= 3(– 2) – 5,5 = – 11,5

При  n = – 1     х₁= 3(– 1) – 4,5 = – 7,5        х₂= 3(– 1) – 5,5 = – 8,5

При  n = 0        х₁= 3∙0 – 4,5 = – 4,5            х₂= 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При  n = 1        х₁= 3∙1 – 4,5 = – 1,5            х₂= 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При  n = 2        х₁= 3∙2 – 4,5 =  1,5              х₂= 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен  –1,5

Ответ:  –1,5

Найдите наименьший положительный корень уравнения:

Решением уравнения sin x = a  являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от  –90^о до 90^о синус которого равен a.

Значит
Выразим x (умножим на 4 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n=0,1,2 …

При  n = 0     х = (– 1)⁰ + 4∙0 + 3 = 4

При  n = 1     х = (– 1)¹ + 4∙1 + 3 = 6

При  n = 2     х = (– 1)² + 4∙2 + 3 = 12

Проверим при   n=–1    х=(–1)^–1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значит наименьший положительный корень равен 4.

Ответ: 4

Найдите наименьший положительный корень уравнения:

Решением уравнения tg x = a  является корень:

Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90^о до 90^о,  тангенс которого равен a.

Значит

Выразим x  (умножим на 6 и разделим на  Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения  n=0,1,2,3 …         Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:

Таким образом, наименьший положительный корень равен 0,25.

Ответ: 0,25