Задачи на нахождение точек минимума функций.
Задача
26710. Найдите точку минимума функции у=(х+16)ех–16.
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной (определим возможную точку экстремума):
Известно, что произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Значит
Выражение ех–16 неравно нулю ни при каких х, так как число «е» (е≈2,71) в любой степени есть число положительное. *Наглядно это можно увидеть по графику показательной функции. Следовательно получим, что х=–17.
Отметим на числовой оси найденный корень, определим знаки производной функции на полученных интервалах и изобразим поведение функции:
В точке х=–17 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, то есть на интервале (–∞;–17) функция убывает, на интервале (–17;+∞) возрастает. Это означает, что х=–17 есть искомая точка минимума.
Ответ: –17
Задача
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной (определим возможную точку экстремума):
Известно, что произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, значит
Выражение е3–x неравно нулю ни при каких х, так как число «е» (е≈2,71) в любой степени есть число положительное. *Наглядно это можно увидеть по графику показательной функции. Следовательно х=4.
Отметим на числовой оси найденный корень, определим знаки производной функции на полученных интервалах и изобразим поведение функции:
В точке х=4 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, то есть на интервале (–∞;4) функция убывает, на интервале (4;+∞) возрастает. Это означает, что х=4 есть искомая точка минимума.
Ответ: 4
Задача
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, значит
Выражение ех–5 не может быть равно нулю, так как любая степень положительного числа (число е≈2,71) всегда даёт в результате число положительное. Получим, что х1=0 или х1=2 .
Определим знаки производной функции на интервалах (–∞;0), (0;2) и (2;+∞), подставляя любые значения из них в производную и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке х=2 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.
Ответ: 2
Задача
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной(определим возможную точку экстремума):
Известно, что произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, значит
Выражение е2-x неравно нулю ни при каких х, так как число «е» (е≈2,718) в любой степени есть число положительное. *Наглядно это можно увидеть по графику показательной функции. Следовательно получим, что х=–3 и x=–1.
Отметим на числовой оси найденные корни, определим знаки производной функции на полученных интервалах и изобразим поведение функции:
В точке х=–3 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, то есть на интервале (–∞;–3) функция убывает, на интервале (–3;–1) возрастает. Это означает, что х=–3 есть искомая точка минимума.
Ответ: –3
Задача
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, значит
Выражение е6–х не может быть равно нулю, так как любая степень положительного числа (е≈2,71) всегда даёт в результате число положительное. Получим что х1=2, х2=8.
Определим знаки производной функции на интервалах (–∞;2), (2;8) и (8;+∞), подставляя произвольные значения из них в производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке х=2 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.
Ответ: 2
Задача
Первый способ.
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной (определим возможную точку экстремума):
Можно отметить на числовой оси найденные корень, определить знаки производной функции на полученных интервалах и изобразим поведение функции. Но если мы подставим эти корни в функцию, то вычислив значения также поймём какая из них является точкой минимума:
В точке х=–3 функция приобретает меньшее значение, значит это есть точка минимума.
Второй способ. Решим методом перебора.
Подставляем значения х от –5 до 5 в функцию и вычисляем:
Видно, что поведение функции меняется следующим образом: до точки х=–3 она убывает, от –3 до 5 возрастает.
Таким образом, точка минимума равна –3.
Почему берём интервал от –5 до 5? Потому что большинство ответов в подобных задачах лежат в указанных пределах. Если будет необходимо, то интервал можно взять шире. *Для наглядности можно построить график.
Ответ: –3
